29. podstawowe konstrukcje klasyczne
Zapomnij o podziałce!


Wyobraź sobie, że masz dużo podłużnych klocków długości 7 cm i 3 cm. Układając je w odpowiedni sposób, możesz odmierzać różne odległości. 

starter
kropkaJakie odległości można odmierzyć dzięki takiemu ułożeniu klocków, jak na rysunkach A, B i C? 
starter

kropkaCzy korzystając z tych klocków, możesz odmierzyć odległość 4 cm? Opowiedz, jakie czynności trzeba przy tym wykonać. 
kropkaPodaj kilka innych odległości, które możesz odmierzyć, używając tych klocków. 
kropkaOto inne klocki. 
Oznaczmy ich długości literami a i b. Na którym z tych rysunków ułożone klocki odmierzają odległość a - b? 

starter

kropkaJakie odległości odmierzone są na pozostałych rysunkach? 
kropkaPodaj kilka innych odległości, które można odmierzyć za pomocą tych klocków. 
kropkaCzy zamiast układać klocki mógłbyś rysować odcinki? Jakie przyrządy byłyby do tego potrzebne? 


1. Ten schemat wyjaśnia, jakie czynności należy kolejno wykonać, aby narysować odcinek tej samej długości co narysowany odcinek AB.
START
Masz narysowany odcinek AB. 

zad 1

rys
Narysuj prostą i nazwij ją k. 

zad 1

rys
Zaznacz na tej prostej punkt i nazwij go X. 

zad 1

rys
Narysuj okrąg o środku w punkcie X i promieniu równym odcinkowi AB. 

zad 1

rys
Punkty, w których przecinają się prosta i okrąg, nazwij M i N. 

zad 1

rys
Każdy z odcinków XM i XN ma tę samą długość co odcinek AB. 
STOP.
 a. Ile odcinków przystających do AB powstało?
 b. Narysuj odcinek, oznacz jego końce C i D. Korzystając z tego schematu i posługując się linijką tylko do  rysowania linii, a cyrklem do odmierzania długości odcinków, zbuduj odcinek przystający do odcinka CD.

Dwa odcinki są przystające, gdy mają tę samą długość.

Konstrukcję opisaną w zadaniu 1. nazywamy przenoszeniem odcinka.

słonko
Wykonywanie rysunków figur tylko za pomocą cyrkla i linijki ( bez użycia podziałki) było ważnym elementem nauki w najstarszej szkole "wyższej" - Akademii Platońskiej, założonej w Atenach ok. roku 387 p.n.e. przez greckiego filozofa Platona. Do dziś taki sposób budowania figur nazywa się konstrukcjami platońskimi albo konstrukcjami klasycznymi. 


2. Narysuj dwa odcinki. Długość pierwszego oznacz literą a, a długość drugiego - literą b. Używając cyrkla oraz linijki narysuj odcinek długości:
 a. 2a
 b. 3b
 c. a + b

grupa3 a. Narysujcie trójkąt ABC. Skonstruujcie odcinek, którego długość jest równa obwodowi tego trójkąta.
 b. Opowiedzcie, jak to zrobiliście.

grupa4. Na rysunkach pokazano, jak można skonstruować odcinek, którego długość jest różnicą długości dwóch odcinków. Przyjrzyjcie się rysunkom i opowiedzcie, jak to zrobiono.
zad 4

Często zamiast rysować okręgi, rysujemy ich fragmenty, czyli łuki. Zwrot: "narysuj łuk o promieniu a" oznacza, że chodzi o narysowanie części okręgu, którego promień ma długość a.

5. Narysuj na kartce w kratkę prostokąt ABCD. Zaznacz jego przekątne. Skonstruuj odcinek, którego długość jest:
 a. sumą długości przekątnych tego prostokąta;
 b. różnicą długości przekątnej i długości boku AB.

6. Narysuj dwa odcinki. Oznacz ich długość k i l. Który z odcinków potrafisz skonstruować: odcinek długości k - l czy odcinek długości l - k? Od czego to zależy?


7. Narysuj trzy odcinki długości x, y oraz z. Skonstruuj odcinek, którego długość jest równa:
 a. 2x + z
 b. x + y - z
ćw. 12  c. x - y - z
 d. y - 2x
Czy w każdym przypadku można narysować szukany odcinek? Od czego to zależy?

grupa8. Rysunki przedstawiają kolejne etapy konstrukcji trójkąta o bokach: a, b, c.
 a. Opowiedzcie, jakie czynności były kolejno wykonywane.
zad 8
 b. Wytnij z zeszytu ćwiczeń popisy kolejnych etapów tej konstrukcji, dopasuj je do rysunków, a następnie wklej je do zeszytu.

9 a. Narysuj odcinki długości k, l i m. Skonstruuj trójkąt o bokach tej długości.
 b. Czy zawsze można to zrobić? Wyjaśnij dlaczego.

10. Narysuj trójkąt DEF. Skonstruuj trójkąt o bokach tej samej długości co boki trójkąta DEF.


rys
Boki jednego z tych trójkątów są takie same, jak odpowiednie boki drugiego trójkąta. Takie trójkąty są przystające.

11 a. Skonstruuj trójkąt równoboczny ABC oraz trójkąt do niego przystający tak, aby oba trójkąty miały wspólny bok BC.
 b. Jakie własności ma powstały czworokąt?

12 a. Skonstruuj trójkąt różnoboczny KLM oraz trójkąt do niego przystający tak, aby oba trójkąty miały wspólny bok.
 b. Na ile sposobów można to zrobić? Jakie figury powstaną?

grupa13. Narysujcie kąt i wykonując podane czynności zbudujcie kąt o takiej samej rozwartości.
ćw. 3,4,5,6,7
START
Dany jest kąt o wierzchołku A. 

zad 13

rys
Narysuj okrąg o środku w punkcie A i promieniu dowolnej długości. Oznacz literami B i C punkty wspólne ramion kąta oraz okręgu. 
zad 13
rys
Narysuj prostą m i zaznacz na niej punkty A'. 
zad 13
rys
Narysuj okrąg o środku punkcie A' i promieniu AB. Punkt wspólny prostej i okręgu oznacz B'. 
zad 13
zad 13
Narysuj okrąg w punkcie B' i promieniu BC. Wspólne punkty obu okręgów oznacz C' i C''. 
zad 13
zad 13
Narysuj półproste A'C' i A'C". 
zad 13
Każdy z kątów B'A'C' i A'B'C" ma taką samą rozwartość jak dany kąt.
STOP
ćw. 8

14 a. Dane są dwa kąty:
zad 14
Przyjrzyj się rysunkom I i II. Jakie kąty na nich zbudowano?
zad 14
 b. Jakie inne kąty można skonstruować, mając kąty alfabeta?

Do oznaczania kątów często używa się liter alfabetu greckiego, np. 
alfa -- czytaj: alfa, 
beta  -- czytaj: beta, 
gamma -- czytaj: gamma, 
delta -- czytaj: delta.

15 a. Dane są kąty alfabeta. Skonstruuj kąt równy kątowi alfa.
 b. Gdzie należy "przenieść" kąt beta. aby otrzymać kąt alfabeta? Wykonaj tę konstrukcję.

grupa16. Rysunki pokazują, jak otrzymać konstrukcyjnie różnicę dwóch kątów: kąta alfa i kąta beta.
zad 16
Opiszcie kolejne czynności składające się na tę konstrukcję. 
17. Narysuj kąt ostry rys i kąt rozwarty rys.
 a. Skonstruuj kąt rysrys
ćw. 9  b. Który z kątów: rysrys czy rysrys można skonstruować? Skonstruuj ten kąt.

18. Oto przepis, który pozwala skonstruować trójkąt, gdy znane są dwa jego boki a i b oraz kąt między nimi alfa.
START
Dane są odcinki a i b oraz kąt alfa
zad 18
strzałka
Skonstruuj kąt XOY przystający do alfa
zad 18
strzałka
Na ramieniu OX zaznacz odcinek OA o długości a. 
strzałka
Na ramieniu OY zaznacz odcinek OB o długości b. 
strzałka
Narysuj odcinek AB. 
zad 18
strzałka
Trójkąt AOB jest szukanym trójkątem. 
STOP
ćw.10 Zbuduj trójkąt, posługując się tym schematem. 
Dwa kąty są przystające, gdy mają tę samą rozwartość.

19. Tylko na jednym z rysunków I, II, III poprawnie przeniesiono trójkąt A.
zad 19
Wskaż ten rysunek. Uzasadnij swój wybór.
zad 19

rys
Dwa boki i kąt między nimi zawarty w jednym trójkącie są takie same jak w drugim trójkącie. Takie trójkąty są przystające.

20. Dane są kąty alfabeta oraz odcinek a.
zad 20
 a. Zaplanuj czynności, które należy wykonać, aby skonstruować trójkąt ABC taki jak na rysunku.
 b. Przedstaw opis konstrukcji w postaci schematu.
zad 20

21 a. Narysuj dwa kąty ostre alfabeta oraz odcinek x. Skonstruuj trójkąt o boku x i kątach alfabeta przyległych do tego boku.
 b. Narysuj kąt ostry alfa, kąt rozwarty beta i odcinek x. Skonstruuj trójkąt o boku x i kątach alfabeta i przyległych do tego boku.
 c. Czy konstrukcje te są zawsze możliwe do wykonania?

rys
Bok i kąty do niego przyległe w jednym trójkącie są takie same jak w drugim trójkącie. 
Takie trójkąty są przystające.

22 a. Narysuj kąt ostry alfa i odcinek a. Skonstruuj trójkąt równoramienny o ramionach a i kącie alfa zawartym między nimi.
 b. Dany jest odcinek b i kąt ostry rys. Skonstruuj trójkąt równoramienny o podstawie b i kątach rys, przyległych do podstawy.

23. Narysuj dowolny trójkąt ABC i odcinek b. Skonstruuj trójkąt o boku b i takich samych kątach jak w trójkącie ABC.


24. Skonstruuj równoległobok, mając dane:
ćw. 11  a. dwa jego boki i kąt ostry zawarty między nimi;
 b. dwa jego boki i kąt rozwarty zawarty między nimi;
 c. dwa jego sąsiednie boki i przekątną.
problem
Dany jest odcinek a i kąt alfa. Jakie trójkąty możesz skonstruować, wykorzystując te elementy? 
łamigłówka

Narysuj trójkąt. Skonstruuj kąt, którego rozwartość jest równa sumie rozwartości kątów tego trójkąta. 



Masz dane dwa odcinki. Skonstruuj równoległobok o bokach przystających do tych odcinków. Ile różnych równoległoboków możesz narysować? 
sprawdź sam siebie


1. Zbuduj odcinek przystający do odcinka a. 

zad 1
2. Skonstruuj kąt przystający do kąta alfa
zad 2
3. Narysuj dwa kąty alfabeta. Skonstruuj kąt równy różnicy tych dwóch kątów. 

4. Skonstruuj romb, mając dany jego bok i jeden kąt. 

Jeśli rozwiązałeś zadania:
1           - jesteś POCZĄTKUJĄCY
1 i 2       - jesteś OBIECUJĄCY
1, 2 i 3    - jesteś ZAAWANSOWANY
1, 2, 3 i 4 - jesteś MISTRZEM !
Odpowiedzi:
  1. porównaj swoje rozwiązanie z zadaniem 1. 
  2. porównaj swoje rozwiązanie z zadaniem 13. 
  3. porównaj swoje rozwiązanie z zadaniem 16. 
  4. np. zaczynasz od narysowania trójkąta równoramiennego, gdy dane są ramiona i kąt zawarty między nimi (por. zadanie 18.), po czym budujesz drugi taki sam trójkąt tak, aby oba trójkąty miały wspólną podstawę (por. zadania 11. i 12.)