17. ostrosłup, objętość graniastosłupa i ostrosłupa 
takie sobie akwarium

Robert hoduje swoje rybki w akwarium, które ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 50 cm × 40 cm × 40 cm. 

starter

1 dm3 to to samo co 1 litr.


kropkaCo jakiś czas rybkom trzeba wymienić wodę. Robert używa do tego wiadra o pojemności 5l. Jak ci się wydaje, ile wiader wody musi wlać Robert, aby wypełnić swoje akwarium? 
kropkaJaka jest objętość akwarium w cm3
kropkaPrzedstaw wymiary akwarium w decymetrach i znajdź jego pojemność w decymetrach sześciennych. Oblicz, ile wiader wody musi wlać Robert do akwarium, aby je całkowicie napełnić. Czy potwierdziły się twoje wcześniejsze przewidywania? 
kropkaIle waży woda w pełnym akwarium Roberta? A ile ważyłaby woda wypełniająca sześcienne akwarium o krawędzi 1m? 
słonko
Podstawową jednostką stosowaną do określania pojemności naczyń oraz objętości płynów jest 1 litr, czyli 1 dm3. Używa się również mniejszych jednostek - mililitrów i centylitrów: 
1 centylitr (1cl) to jedna setna litra, 1 cl = 0,01 l, 1l = 100 cl, 
1 mililitr (1ml) to jedna tysiączna litra, 1 ml = 0,001 l, 1l = 1000 ml.

rys1 a. Skrzynia ma kształt sześcianu o krawędzi długości 60 cm. Jaka jest jej pojemność w centymetrach sześciennych?
 b. Wyraź długość krawędzi tej skrzyni w decymetrach. Jaka jest jej objętość w decymetrach sześciennych?

2 a. Plastykowy prostopadłościenny pojemnik ma wymiary 8 cm × 20 cm × 15 cm. Jaka jest objętość tego pojemnika?
 a. Przedstaw wymiary pojemnika w decymetrach i wyraź jego objętość w litrach.

Do określania objętości brył używa się różnych jednostek: mm3, cm3, dm3, m3.
1 cm3 = 1000 mm3
1 dm3 = 1000 cm3
1 m3 = 1000 dm3

3. Na półce w sklepie stały soki w opakowaniach o pojemności: 0,8 l, 0,33 l, 1 dm3, 20 cl, 0,250 l. Jaka jest pojemność każdego z tych opakowań w mililitrach?


zad 44. Tekturowe prostopadłościenne pudełko na mleko ma wymiary 6 cm × 10 cm × 17 cm. Jaka jest pojemność tego pudełka:
 a. w cm3,
 b. w dm3,
 c. w ml?

5 a. Prostopadłościenna piaskownica ma wymiary 4,5 m × 3 m × 0,6 m. Ile m3 piasku potrzeba do jej wypełnienia?
 b. Ile waży wypełniający ją piasek, jeśli 1 m3 piasku waży około 1,6 tony?

grupa6 a. Zgadnijcie, jaka jest objętość waszej klasy. W jakich jednostkach będzie wam ją najwygodniej podać?
 b. Oszacujcie jej wymiary i obliczcie jej przybliżoną objętość.
ćw. 1,2  c. Wyobraźcie sobie, że stacja benzynowa ma zbiornik na paliwo wielkości waszej klasy. Oceńcie, na zatankowanie ilu samochodów mogłoby wystarczyć paliwo z takiego zbiornika.

Prostopadłościan i sześcian to też graniastosłupy.

7. Ile wody można wlać do naczynia w kształcie graniastosłupa, którego wysokość wynosi 8 cm, a podstawą jest:
 a. prostokąt o bokach 16 cm i 4 cm;
 b. kwadrat o boku 0,8 dm;
 c. trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 1,6 dm i 8 cm;
 d. romb o przekątnych 0,4 dm i 3,2 dm.
? W graniastosłupie prostym wszystkie ściany są prostokątami, a obie podstawy są przystające i równoległe do siebie. Każda jego krawędź boczna jest prostopadła do podstaw. Jej długość nazywamy wysokością graniastosłupa prostego. 
rys
Objętość graniastosłupa prostego jest równa iloczynowi jego pola podstawy i wysokości: 
V = pole podstawy × wysokość
V = Pp × h
Ponieważ będziemy mówić tylko o graniastosłupach prostych, będziemy je nazywać po prostu graniastosłupami
rys
8. Oblicz objętość graniastosłupa o wysokości 8 cm, którego podstawą jest:
 a. trójkąt o polu 15 cm2,
 b. pięciokąt o polu 12,5 cm2.

9. Objętość graniastosłupa jest równa 60 cm3.
 a. Jaka jest jego wysokość, jeśli pole podstawy wynosi 8 cm2?
 b. Jakie jest pole podstawy, jeśli jego wysokość ma 16 cm?

10. Dwa graniastosłupy mają tę samą wysokość. Podstawą pierwszego jest trójkąt o podstawie 12 cm i wysokości 6,5 cm, a podstawą drugiego jest trapez o podstawach 8 cm i 6 cm oraz wysokości 5 cm. Który z nich ma większą objętość?


11. Objętość graniastosłupa, którego podstawą jest kwadrat wynosi 1600 cm3. Pole podstawy jest równe 64 cm2. Oblicz wysokość graniastosłupa i długość krawędzi jego podstawy. 
Graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, nazywamy graniastosłupem prawidłowym.

12. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość i bok podstawy są równe. Jaka jest wysokość tej bryły, jeśli suma długości wszystkich jego krawędzi wynosi 216 cm?


13. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 2,4 dm, w którym:
ćw. 3  a. obwód podstawy jest równy wysokości bryły;
 b. przekątna podstawy ma długość 4 dm;
 c. suma długości wszystkich krawędzi wynosi 19,2 dm.

grupa14. Ze składanek 1,2,3 z zeszytu ćwiczeń złóżcie bryły, postępując zgodnie z przepisem, podanym obok składanki nr 1.
 a. Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma każda z nich?
 b. Czy bryły te mają jakieś wspólne własności?
 c. Czy znacie jakieś przedmioty o takim samym kształcie, jak zbudowane przez was bryły?
! Ostrosłup jest to bryła, której podstawa jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 
rys
Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą. 
rys
15. Jaki wielokąt jest podstawą ostrosłupa:
 a. o 6 ścianach bocznych;
 b. o 10 ścianach bocznych;
 c. o 7 ścianach;
 d. o 11 ścianach;
 e. o 8 krawędziach;
 f. o 12 krawędziach;
 g. o 10 wierzchołkach;
 h. o 13 wierzchołkach?

16. W pewnym ostrosłupie trójkątnym wszystkie krawędzie są równej długości, a suma ich długości wynosi 27 cm.
 a. Jaki jest obwód podstawy tego ostrosłupa?
 b. Czy można znaleźć ten obwód, nie licząc długości krawędzi tego ostrosłupa?

grupa17. Czy prawdą jest, że w każdym ostrosłupie:
 a. jest parzysta liczba wierzchołków;
 b. jest parzysta liczba krawędzi;
 c. jest nieparzysta liczba ścian;
 d. jest tyle samo ścian bocznych i krawędzi podstawy;
 e. liczba krawędzi jest o 2 większa od liczby ścian;
 f. jest tyle samo wierzchołków co ścian? 
Jeśli coś nie jest prawdą, pokażcie to na przykładzie!


grupa18. Podstawą ostrosłupa czworokątnego złożonego ze składanki numer 3 jest kwadrat o boku 4 cm.
 a. Spróbujcie zbudować z trzech takich ostrosłupów sześcian.
 b. Jakie wspólne własności mają ten sześcian i ostrosłup?
 c. Jaka jest objętość tego sześcianu?
 d. Jaka jest objętość jednego takiego ostrosłupa?
! Objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości jak ostrosłup. 
rys
Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu podstawy i wysokości: 
V = 1/3 × pole podstawy × wysokość
 V = 1/3 × Pp × h
19. Oblicz objętość ostrosłupa o wysokości 12 cm, którego podstawą jest:
 a. prostokąt o polu 17 cm2,
ćw. 4,5  b. pięciokąt o polu 27 cm2,
 c. kwadrat o boku 10 cm,
 d. prostokąt o bokach 4 cm i 6,5 cm.

20. Podstawą ostrosłupa o wysokości równej 2,5 dm jest romb o przekątnych długości 12 cm i 8 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.


Ostrosłup prawidłowy to taki ostrosłup, w którym podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

21. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 dm. Jego wysokość ma 3 dm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.


22 a. Jaka jest wysokość graniastosłupa o objętości 50 dm3, jeśli jego podstawą jest kwadrat o boku długości 50 cm?
 b. Jaka jest wysokość ostrosłupa o takiej samej objętości oraz takiej samej podstawie jak ten graniastosłup?

23 a. Objętość ostrosłupa wynosi 1 dm3. Jaka jest wysokość tego ostrosłupa, jeżeli jego pole podstawy wynosi 1,25 dm2?
 b. Objętość ostrosłupa wynosi 120 cm3. Jakie jest pole jego podstawy, jeśli wysokość jest równa 24 cm?

24. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego pole podstawy wynosi 21 cm2, a wysokość 1,3 dm.


25. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma 6 cm, a wysokość 1,3 dm.

słonko
Najsłynniejszymi budowlami w kształcie ostrosłupa są piramidy w Gizie (Egipt). Największą z nich jest piramida faraona Cheopsa, pochodząca z XXVI wieku p.n.e. Gdy ją wybudowano, miała wysokość ok. 147 m, a bok jej kwadratowej podstawy miał 230 m. Dziś ma wysokość 138 m, a bok jej podstawy ma długość 227,5 m. 


26. Jaką objętość miała piramida Cheopsa w czasach, gdy ją wybudowano, a jaką objętość ma dziś?
zdjęcie
problem
Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o 4 większa od liczby jego ścian. Ile wierzchołków ma ten ostrosłup?
A ile miałby on wierzchołków, gdyby liczby krawędzi i ścian różniły się o 5? Czy jest w tym jakaś reguła? 
Czy istnieje jakiś związek między liczbą ścian, krawędzi i wierzchołków ostrosłupa? 
łamigłówka

Wyobraź sobie, że sześcian o boku 1 m pocięto na małe sześcianiki o objętości 1 mm3, po czym ułożono je obok siebie jeden za drugim. Jaka będzie długość tej układanki? 

sprawdź sam siebie



1. Oblicz objętość ostrosłupa o wysokości 12 cm i polu podstawy 25 cm2

2. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego podstawa ma bok 2,4 dm, a wysokość jest dwa razy dłuższa od boku podstawy. 

3. Jaka jest wysokość ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt o podstawie 6 cm i wysokości 12 cm, jeśli objętość tego ostrosłupa jest równa 408 cm3

4. Naczynie w kształcie graniastosłupa sześciokątnego ma wysokość 0,16 m i pole podstawy 200 cm2. Jaka jest jego pojemność w litrach? 

Jeśli rozwiązałeś zadania:
1           - jesteś POCZĄTKUJĄCY
1 i 2       - jesteś OBIECUJĄCY
1, 2 i 3    - jesteś ZAAWANSOWANY
1, 2, 3 i 4 - jesteś MISTRZEM !
Odpowiedzi:
  1. 100 cm3 
  2. 9216 cm3 = 9,216 dm3 
  3. 34 cm 
  4. 3,2 l