16. pole figur płaskich
krasnoludki w akcji

Przyjrzyj się obu tym historyjkom i opowiedz, co robią krasnoludki. 

starter

Tnijcie dokładnie w połowie.


kropkaW jaką figurę krasnoludki przekształciły trójkąt z rysunku I? Jakie są związki między figurami z rysunków I i IV? 
kropkaW co został przekształcony trapez z rysunku A? 
kropkaPorównajcie czynności krasnoludków w obu historyjkach. Czy postępowały one w podobny sposób? 
kropkaW jaki sposób można obliczyć pole trójkąta? A pole trapezu? 

1. Wytnijcie dwa przystające trapezy prostokątne. Połóżcie je obok siebie, po czym przesuńcie tak, jak pokazują to rysunki. Odetnijcie te części, które się pokrywają.
zad 1
 a. Jaki kształt mają czworokąty I i II?
 b. Co możecie powiedzieć o ich polach?
? ramkaPole równoległoboku jest równe iloczynowi długości jego podstawy i długości wysokości poprowadzonej na tę podstawę:
wzór

ramkaPole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości podstawy oraz długości wysokości poprowadzonej na tę podstawę:
wzóe

ramkaPole trapezu jest równe połowie iloczynu sumy długości obu jego podstaw i długości wysokości:
wzór


2. Oblicz pole równoległoboku o podstawie a i wysokości h poprowadzonej na tę podstawę, jeśli:
 a. a = 8 cm  i  h = 4,5 cm;
 b. a = 2,6 dm  i  h = 11 cm;
 c. a = 1,2 dm  i  h = 7 1/2 dm;
 d. a = 0,7 m  i  h = 5,4 dm.

Pamiętaj o porównaniu jednostek.

3. Oblicz pole trójkąta ABC o podstawie AB i wysokości CD,
 a. jeśli |AB| = 6,4 cm i |CD| = 7 cm;
 b. jeśli |AB| = 1,5 dm i |CD| = 0,2 m.

ćw. 14. Oblicz pole trapezu o podstawach a i b oraz wysokości h,
 a. jeśli a = 8,4 cm, b = 6,8 cm i h = 5 cm;
 b. jeśli a = 2,2 dm, b = 0,45 m i h = 12 cm.

5. Oblicz pole równoległoboku, w którym:
 a. podstawa ma 8 cm, a wysokość stanowi 3/4 podstawy.
 b. wysokość ma 12 cm, a podstawa jest o 1/3 od niej krótsza.

6 a. Pole trapezu o podstawach 7 cm i 11 cm wynosi 432 cm2. Jaka jest wysokość tego trapezu?
 b. Pole równoległoboku o wysokości 6 cm wynosi 28,8 cm2. Jaka jest długość podstawy tego równoległoboku?
 c. Jaką długość miałaby podstawa trójkąta o takim samym polu i tej samej wysokości co ten równoległobok?

7. Oblicz pole trójkąta, w którym wysokość ma 6 cm, a suma wysokości i podstawy jest 5 razy dłuższa od samej wysokości.


8. Oblicz pole trójkąta, w którym wysokość jest o 4 cm dłuższa od podstawy, a podstawa jest dwa razy krótsza od wysokości.


9 a. Oblicz pole trapezu, w którym wysokość ma 1,2 dm, a suma podstaw jest dwa razy dłuższa od wysokości.
 b. W trapezie suma obu podstaw i wysokości wynosi 24 cm. Wysokość jest o 2 cm dłuższa od jednej podstawy i o 4 cm dłuższa od drugiej. Oblicz pole tego trapezu.

10. Oblicz pole rombu o podstawie 6 cm i wysokości 4 cm.


Romb to równoległobok, którego wszystkie boki są równej długości.

11. Oblicz pole rombu o obwodzie 29 m i wysokości 4,4 m.


grupa12. Trójkąt prostokątny ma obwód 36 cm. Długości jego kolejnych boków (od najkrótszego do najdłuższego) różnią się o 3 cm. Jakie jest jego pole?


Deltoid to czworokąt o wypukłych kątach, który ma dwie pary sąsiednich boków równej długości.

13 a. Czworokąt ABCD jest deltoidem, a KLMN prostokątem.
Które trójkąty z rysunku są przystające? Dlaczego?
zad 13
 b. Niech |AC| = 6 cm oraz |BD| = 9 cm. Jakie jest pole prostokąta KLMN? A pole deltoidu ABCD?
 c. Jakie byłoby pole tego deltoidu, gdyby jego przekątne miały 4 cm i 6 cm? 5 cm i 7 cm? A gdyby miały p cm i q cm?
 d. Jak można obliczyć pole deltoidu, gdy znane są długości obu jego przekątnych? Sformułujcie odpowiedni przepis.

Każdy deltoid ma przynajmniej jedną oś symetrii, przechodzącą przez przeciwległe jego wierzchołki.

! ramka Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Jeśli przez p i q oznaczymy długości przekątnych deltoidu, to jego pole możemy obliczyć zgodnie ze wzorem: 
wzór

14. Oblicz pole deltoidu o przekątnych długości:
 a. 10 cm i 6 cm,
 b. 15,5 cm i 4 cm,
 c. 8,4 cm i 7,5 cm.

15. Oblicz pole deltoidu ABCD, jeśli:
 a. |AC| = 7 cm, |BD| = 5,4 cm;
 b. |AC| = 5,3 m, |BD| = 4,5 m.

16. W deltoidzie jedna z przekątnych ma 11 cm, a druga jest o 3,8 cm krótsza. Jakie jest pole tego deltoidu?


17. W deltoidzie o polu 36 cm2 jedna z przekątnych ma 8 cm. Jaka jest długość drugiej przekątnej tego deltoidu?


Romb to deltoid, którego wszystkie boki są równej długości.

18. W deltoidzie o polu 16 cm2 jedna z przekątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz długość tych przekątnych.


19 a. Oblicz pole rombu o przekątnych długości 8 m i 4,6 m.
 b. Oblicz pole kwadratu, którego przekątna ma 6,4 dm.
słonko
Zapis AB symbol CD czytamy: " odcinki AB i CD są prostopadłe" lub "odcinek AB jest prostopadły do odcinka BC". Zapis AB symbol CD czytamy: " odcinki AB i CD są równoległe" albo "odcinek AB jest równoległy do odcinka BC" . W matematyce symbole te są stosowane już od ponad 300 lat: znak symbol został użyty po raz pierwszy w roku 1634, a znak symbol nieco później, bo w roku 1677. 


20. Znajdź na rysunkach pary odcinków równoległych, prostopadłych oraz równych i zapisz je, używając symboli:
, =
zad 20


ćw. 2,321. "Rozszyfruj", jaką figurą jest czworokąt ABCD i oblicz jego pole.

zad 21


Zacznij od zrobienia odręcznego rysunku. Zastanów się, jaka figura spełnia podane warunki.

! Pola figur wyrażamy w różnych jednostkach: mm2, cm2, dm2, m2
1 cm2 = 100mm2
1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2
1m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2= 1 000 000 mm2
Przy określaniu powierzchni gospodarstw rolnych, rezerwatów, województw, państw itp. posługujemy się większymi jednostkami: arem (a), hektarem (ha) oraz kilometrem kwadratowym (km2)
1 a = 100 m2
1 ha = 100 a = 10 000 m2
1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2

22. Ile metrów ma bok kwadratowej działki o powierzchni:
 a. 1 a,
 b. 1 ha,
 c. 1 km2.

grupa23 a. Spróbujcie ocenić, jaka jest powierzchnia każdej z tych wysepek. W jaki sposób możecie to zrobić? 
Zwróćcie uwagę na skale poszczególnych mapek.

zad 23
 b. Wyraźcie przybliżoną powierzchnię każdej wyspy:
I. w arach,
II. w hektarach,
III. w kilometrach kwadratowych.

1 m2 = 0,01 a
1 a = 0,01 ha
1 ha = 0,01 km2

24. Zamień na cm2 i mm2.
 a. 5 dm2
 b. 18 dm2
 c. 34 dm2
 d. 3,5 dm2
 e. 6,15 dm2

25. Zamień na dm2 i cm2.
 a. 6 m2
 b. 11 m2
 c. 102 m2
 d. 6,4 m2
 e. 1,64 m2

26. Zamień na m2.
 a. 400 dm2
 b. 120 dm2
 c. 1260 dm2
 d. 508 dm2

27. Zamień na m2.
 a. 140 000 cm
 b. 25 000 cm2
 c. 4000cm2
 d. 654 cm2

28. Zamień na m2.
 a. 13 a      45,2 a      28,75 a
 b. 8 ha      11,5 ha      3,76 ha
 c. 4 km2      7,6 km2      12,92 km2
 d. 6 ha 5 a      3 km2      17 ha

29. Krakowski rynek jest największym rynkiem w Europie. Ma powierzchnię 40 000 m2. Ile to hektarów? A ile arów?


ćw. 430 a. Biebrzański Park Narodowy - największy w Polsce ma powierzchnię 59,2 tysiąca hektarów. Ile to km2?
 b. Ojcowski Park Narodowy ma 16 000 000 m2, a Wigierski Park Narodowy 15 tysięcy ha. Który z nich jest większy?

31. Jaka jest cena działek z tych ogłoszeń?
zad 31

kalkukator32. Za działkę o powierzchni 3,2 ha zapłacono 1360 zł. Jaka była cena 1 m2 tej działki?

kalkukator33. Ile kosztuje wykładzina o wymiarach 350 cm × 420 cm, jeśli 1 m2 tej wykładziny kosztuje 65 zł?

34. Jeden kafelek o wymiarach 20 cm × 20 cm kosztuje 0,80 zł. Ile kosztują kafelki potrzebne do pokrycia 3,2 m2 ściany?


grupa35 a. Jak sądzisz, jak duża może być powierzchnia całego twojego ciała (łącznie z rękoma i nogami)? Wyraź ją w m2.
 b. Porównajcie swoje przewidywania.
 c. Odczytaj z rysunku (zeszyt ćwiczeń, s. 74) przybliżoną powierzchnię twego ciała.
 d. Kto był najdokładniejszy w swoich przewidywaniach?
problem
Narysuj dwa odcinki przecinające się pod kątem prostym: jeden mający 3 cm i drugi długości 4 cm. Jeśli połączysz końce tych odcinków, to powstanie czworokąt, w którym odcinki te będą przekątnymi. Oto trzy takie figury. 
problem
Zbadaj, przy jakim ustawieniu prostopadłych przekątnych figura taka ma największe pole.
Czy taka sama sytuacja wystąpi dla przekątnych innej długości? Dlaczego? 


Masz dwa przystające romby. Jak należy je pociąć, aby z uzyskanych części można było złożyć jeden prostokąt? Czy w podobny sposób można zbudować prostokąt z dwóch przystających deltoidów?
Zbadaj, z jakich innych dwóch przystających figur można zbudować prostokąt, dzieląc w razie potrzeby jedną lub obie te figury. 
łamigłówka

Ile m2 ma łączna powierzchnia wszystkich stron tej książki? Spróbuj najpierw to samodzielnie ocenić, a potem wykonaj odpowiednie pomiary i oszacuj tę powierzchnię. 

sprawdź sam siebie



1. Oblicz pole deltoidu o przekątnych 4 cm i 8,2 cm. 

2. Narysuj romb o polu 10 cm2 i jednej przekątnej 5 cm. 

3. Trapez ma pole 18 cm2. Jedna z jego podstaw jest równa wysokości oraz jest trzy razy dłuższa od drugiej podstawy. Jaka jest długość jego podstaw i wysokości? 

4. Podłogę łazienki o wymiarach 2,5 m × 2,2 m wyłożono płytkami o wymiarach 10 cm × 10 cm. Za wszystkie płytki zapłacono 176 zł. Ile kosztowała jedna płytka? 

Jeśli rozwiązałeś zadania:
1           - jesteś POCZĄTKUJĄCY
1 i 2       - jesteś OBIECUJĄCY
1, 2 i 3    - jesteś ZAAWANSOWANY
1, 2, 3 i 4 - jesteś MISTRZEM !
Odpowiedzi:
  1. 16,4 cm2 
  2. Druga przekątna ma długość 4 cm. Przekątne dzielą się na połowy i są prostopadłe. 
  3. Wysokość 3 cm, podstawy: 3 cm i 9 cm. 
  4. 32 grosze