30. wysokość trójkąta, równoległoboku i trapezu




Narysuj w zeszycie trójkąt, który ma trzy kąty ostre.



Taki odcinek nazywamy wysokością trójkąta!
 
? Trójkąt o trzech kątach ostrych nazywamy trójkątem ostrokątnym. Trójkąt, który ma jeden kąt rozwarty to trójkąt rozwartokątny. Trójkąt, który ma jeden kąt prosty, nazywamy trójkątem prostokątnym.






1. Spójrz na ten film. Pokazuje on, jak można wykorzystać ekierkę do szybkiego narysowania wysokości w trójkącie.
 a. Opowiedz, jakie czynności trzeba w tym celu wykonać. Zwróć szczególną uwagę na położenie obu przyprostokątnych ekierki.



 b. Narysuj trójkąt ostrokątny. Korzystając z ekierki, zaznacz jego wszystkie wysokości.
grupa

2. Narysujcie trójkąt prostokątny. Zaznaczcie wszystkie jego wysokości. Ile odcinków trzeba w tym celu dorysować?
grupa 3 a.Przyjrzyjcie się uważnie tym rysunkom. Co one przedstawiają?



 b. Opowiedzcie, w jaki sposób można zaznaczyć pozostałe wysokości tego trójkąta?
 c. Narysujcie trójkąt rozwartokątny i zaznaczcie jego trzy wysokości.

 
! Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek z przeciwległym bokiem trójkąta albo przedłużeniem tego boku i prostopadły do niego. Bok trójkąta, do którego poprowadzona jest wysokość, nazywamy podstawą.



Każdy trójkąt ma trzy wysokości.




ćw. 1



słonko
Zamiast mówić "bok AB ma długość a" mówimy często krócej "bok a" lub "bok równy a". Sens tych wyrażeń jest taki sam: zawsze mamy na myśli bok o długości a.
Podobnie mówimy często "wysokość h" zastępując tym krótkim oraz wygodnym w użyciu zwrotem dłuższe wyrażenie "wysokość długości h" albo jeszcze dłuższe "wysokość długości równej liczbie h".




grupa 4. Na papierze w kratkę narysujcie dwie proste równoległe, tak aby odległość między nimi wynosiła 3 cm. Oznaczcie je literami m i k -- tak jak na rysunku. Na prostej m zaznaczcie punkty A i B, a na prostej k punkt C. Punkty te są wierzchołkami trójkąta ABC.



 a. Na prostej k zaznaczcie punkt D, tak aby trójkąt ABD był trójkątem prostokątnym. Czy istnieje tylko jeden taki trójkąt?
 b. Na prostej k obierzcie punkt E, tak aby trójkątABE był trójkątem ostrokątnym. Ile jest możliwości tym razem?
 c. Jak zaznaczyć na prostej k punkt F, aby mieć pewność, że trójkąt ABF będzie trójkątem rozwartokątnym?
 d. Jakie wspólne cechy mają wszystkie narysowane trójkąty?
5. Narysuj trójkąt o podstawie 4 cm i wysokości 3 cm, tak aby był on:
 a. prostokątny,
 b. ostrokątny,
 c. rozwartokątny.
Na ile sposobów możesz to zrobić?
6. Narysuj trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma 5 cm, a odpowiadająca jej wysokość ma 6 cm. ćw. 2, 3





7. Spójrz na ten ornament. Z jakich figur jest on zbudowany? Jakie wspólne własności mają te figury?




8. Figura na rysunku obok to trapez. Co wspólnego mają odcinki zaznaczone na tym rysunku?





 
! Wysokość trapezu, to odcinek łączący obie podstawy trapezu lub ich przedłużenia, i prostopadły do nich.






9. Narysuj trapez o podstawach 4 cm i 2 cm oraz wysokości 3 cm.
10. Narysuj trapez, którego dolna podstawa ma 5 cm, a wysokość ma 4 cm, tak aby był on:
 a. prostokątny,
 b. równoramienny.
11. Na rysunkach I i II przedstawiony jest ten sam równoległobok. Co wspólnego mają odcinki zaznaczone na rysunku I? A co łączy odcinki z rysunku II?



 
! Wysokość równoległoboku to odcinek łączący jego równoległe boki lub ich przedłużenia, i prostopadły do nich.



W równoległoboku można poprowadzić wysokość dla każdej z dwóch par boków równoległych. Równoległobok ma dwie wysokości.






12 a. Narysuj dowolny równoległobok i zaznacz, używając ekierki, obie jego wysokości.
 b. W jaki sposób można wykorzystać ekierkę do zaznaczania obu wysokości równoległoboku?
13. Narysuj równoległobok o podstawie 5 cm i odpowiadającej tej podstawie wysokości 3 cm. Ile takich figur można narysować?
14. Narysuj równoległobok, trójkąt, trapez i prostokąt mające takie same wysokości. ćw. 4, 5, 6




 

Narysuj trójkąt ostrokątny i na tym rysunku w taki sposób ustaw lusterko, aby przecięło dwa boki tego trójkąta. Jaki wielokąt tworzą razem: ta część trójkąta, która jest przed lusterkiem, i jej odbicie w lusterku? Jakie inne figury możesz w ten sposób utworzyć? Która z nich ma najmniejszą liczbę boków? Czy tak samo będzie w przypadku trójkąta prostokątnego lub rozwartokątnego?
Czy prawdą jest, że wysokości każdego trójkąta prostokątnego mają punkt wspólny? Dlaczego?
Czy podobną własność mają wysokości trójkąta równobocznego?
Zbadaj, czy wysokości ostrokątnego trójkąta równoramiennego przecinają się w jednym punkcie. Spróbuj wyjaśnić, dlaczego tak się dzieje. Czy tę własność ma także dowolny trojkąt równoramienny?
 


W pewnym równoległoboku wysokości są do siebie prostopadłe. Jakie własności ma ten równoległobok? Co się zmieni, jeśli dodatkowo wysokości będą równej długości?

W pewnym trapezie równoramiennym ramiona i wysokość są tej samej długości. Jakie własności ma ten trapez? A jaką figurą jest trapez równoramienny, w którym ramiona, górna podstawa i wysokość są tej samej długości?

 

1. Na papierze w kratkę narysuj trapez o podstawach 5 cm i 4 cm oraz wysokości 2 cm.

2. Na gładkim papierze narysuj, korzystając z ekierki, trójkąt równoramienny o podstawie 4 cm i wysokości 6 cm.

3. Narysuj trójkąt rozwartokątny i zaznacz wszystkie jego wysokości.

4. Narysuj równoległobok ABCD, w którym |AB| = 5 cm, kąt A ma rozwartość 55°, a wysokość odpowiadająca bokowi AB ma długość 3 cm.
Jeśli rozwiązałeś zadania:
1           - jesteś POCZĄTKUJĄCY
1 i 2       - jesteś OBIECUJĄCY
1, 2 i 3    - jesteś ZAAWANSOWANY
1, 2, 3 i 4 - jesteś MISTRZEM !
Odpowiedzi:
  1. Rysujemy dwa równoległe odcinki długości 4 cm i 5 cm, tak aby odległość między nimi wynosiła 2 cm, ich końce są wierzchołkami trapezu.
  2. Rysujemy podstawę i znajdujemy jej środek, ze środka podstawy prowadzimy pod kątem prostym, korzystając z ekierki, wysokość.
  3. Zaczynamy od narysowania boku długości 5 cm oraz odcinka równoległego do niego, leżącego w odległości 3 cm. Korzystając z kątomierza rysujemy kąt A, po czym znajdujemy punkt wspólny ramienia tego kąta i odcinka równoległego do AB -- jest to trzeci wierzchołek równoległoboku.