23. układ współrzędnych


tytuł


Przyjrzyj się uważnie fragmentowi mapy Afryki.




grupa 1. Dwaj zaprzyjaźnieni podróżnicy wyznaczyli sobie spotkanie na Wielkiej Wyspie. Każdy z nich posiadał taką samą, wspólnie przez nich narysowaną, mapkę wyspy.



Wielka Wyspa
skala 1 : 50 000
(1 cm = 500 m)


 a. Przyjrzyjcie się mapce. Co przypominają wam zaznaczone na niej poziome i pionowe linie? Jak myślicie, po co podróżnicy narysowali je na mapce?
 b. Przyjaciele umówili się "na Górze, w punkcie 1 i 3". Chociaż każdy z nich dotarł na wyspę o ustalonej porze i czekał w wyznaczonym miejscu, to do spotkania nie doszło. Jak sądzicie, dlaczego?
 c. Co powinni zrobić podróżnicy, aby w przyszłości uniknąć takich nieporozumień?
 d. Zastosujcie swój sposób "niezawodnego" określania miejsc na wyspie do opisania położenia chaty, skały i wodospadu.

 
! Dwie prostopadłe osie liczbowe położone tak jak na rysunku tworzą układ współrzędnych.






grupa

2. Odczytajcie pary liczb opisujące położenie zaznaczonych punktów.



Uwaga! Umowa!
Zawsze jako pierwszą podajemy liczbę z osi x!

 
! Każdy punkt w układzie współrzędnych ma swój "adres" -- dwie liczby, które opisują jego położenie. Tę parę liczb nazywamy współrzędnymi tego punktu.



Współrzędne punktu A to liczby 5 i 2. Zapisujemy to tak:
A = (5, 2)
Współrzędne punktu B to liczby -4 i -3:
B = (-4, -3)
Zawsze jako pierwszą podajemy współrzędną x



3. Odczytaj współrzędne zaznaczonych punktów.



ćw. 1, 2




grupa 4. Konrad i Kamil rozwiązali, każdy swoją metodą, zadanie: "Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A = (4, -2)". Opowiedzcie, na czym polegają sposoby obu chłopców.
Konrad
  1. Znajduję 4 na osi x i rysuję w tym miejscu pionową linię.
  2. Później znajduję -2 na osi y i rysuję poziomą linię.
  3. Tam, gdzie obie linie się przetną, jest szukany punkt!




Kamil
  1. Znajduję 4 na osi x.
  2. Odliczam dwa w dół, bo drugą współrzędną jest -2.
  3. Zaznaczam szukany punkt.



 a. Która z tych metod jest, waszym zdaniem, wygodniejsza?
 b. Narysujcie układ współrzędnych i zaznaczcie w nim w wybrany przez siebie sposób punkty:
A = (5, 1)
B = (-3, 4)
C = (-1, -6)
D = (2, -1)
E = (0, 2)
F = (-5, 0)
G = (-1, -1)
H = (0, 0)
5. Narysuj układ współrzędnych. Na każdej osi wybierz za jednostkę dwie kratki i zaznacz następujące punkty:
A = (2, 1/2)
B = (21/2, -1)
C = (0, 11/2)
D = (-1, 31/2)

6. Narysuj układ współrzędnych i dobierz jednostkę tak, aby można było zaznaczyć wszystkie z podanych punktów.
 a. A = (5, 10)
B = (-20, -5)
C = (-45, 30)
D = (-60, 0)
E = (30, -55)
 b. A = (12, 0)
B = (9, 9)
C = (-3, 15)
D = (6, -12)
E = (-12, 12)
7. W układzie współrzędnych zaznacz:
 a. dwa punkty, których pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi, a drugie są równe;
 b. dwa punkty, których pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi oraz drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi. ćw. 3, 4


 

Zaznacz kilka punktów, których pierwsza współrzędna jest równa 2. Jak są one położone? Jaką figurę utworzą wszystkie punkty, których pierwsza współrzędna jest równa 2? Jaką figurę utworzą punkty, których drugą współrzędną jest -3?
 


Stanąłem twarzą w kierunku północnym. Potem zrobiłem kolejno 11 obrotów o 90° w prawo i pięć razy "w tył zwrot". W jakim kierunku patrzyłem po ich wykonaniu?
 

1. Odczytaj współrzędne zaznaczonych punktów.



2. Narysuj układ współrzędnych i zaznacz w nim punkty:
A = (3, 1),
B = (-1, -2),
C = (4, -5),
D = (0, -1).

3. Narysuj układ współrzędnych, dobierz jednostki i zaznacz punkty:
A = (-3, 2),
B = (1/2, -1),
C = (11/2, -3),
D = (0, 11/2).

4. Zaznacz w układzie współrzędnych punkty:
K = (-3, -1),
L = (5, -1),
M = (3, 4).
Zaznacz punkt N tak, aby czworokąt KLMN był trapezem prostokątnym.
Jeśli rozwiązałeś zadania:
1           - jesteś POCZĄTKUJĄCY
1 i 2       - jesteś OBIECUJĄCY
1, 2 i 3    - jesteś ZAAWANSOWANY
1, 2, 3 i 4 - jesteś MISTRZEM !
Odpowiedzi:
  1. A = (2, 1), B = (- 2, - 1), C =(4, - 4), D = (- 1, 3)


  2. N = (- 3, 4)
 
jak to rozwišzać



1. Czy można narysować trójkąt o bokach:
 a. 8 cm, 9 cm, 14 cm,
 b. 5 cm, 7 cm, 13 cm?

ROZWIĄZANIE:
Trzy odcinki mogą być bokami trójkąta, jeśli suma długości dowolnych dwóch z tych odcinków jest większa od długości trzeciego.

a. 8 + 9 = 17 i 17 > 14
8 + 14 = 22 i 22 > 9
9 + 14 = 23 i 23 > 8
Można narysować trójkąt o bokach 8 cm, 9 cm i 14 cm.

b. 5 + 7 = 12, ale 12 jest mniejsze od 13, nie można więc narysować trójkąta o bokach 5 cm, 7 cm i 13 cm.



2. W trójkącie dwa kąty są równe 38° i 86°. Jaką rozwartość ma trzeci kąt tego trójkąta?

ROZWIĄZANIE:
Suma rozwartości kątów trójkąta jest równa 180°. Aby obliczyć, ile stopni ma trzeci kąt trójkąta, trzeba odjąć od 180° sumę rozwartości dwóch znanych kątów.

Suma rozwartości dwóch znanych kątów wynosi:
38° + 86° = 124°.
Trzeci kąt trójkąta ma więc rozwartość: 180° - 124° = 56°.
Odpowiedź. Trzeci kąt tego trójkąta ma rozwartość 56°.
3. W czworokącie ABCD kąt o wierzchołku A ma rozwartość 38°. Kąt o wierzchołku B jest od niego trzy razy większy, a kąt o wierzchołku C jest o 45° mniejszy od kąta B. Jaka jest rozwartość kąta o wierzchołku D?

ROZWIĄZANIE:
Rozwiązanie stanie się łatwiejsze, jeśli ułożysz listę kolejnych pytań o to, co wiesz i czego nie wiesz w tym zadaniu. Trzeba także pamiętać o tym, że suma rozwartości kątów czworokąta jest równa 360°.

Wiemy, że rozwartość kąta o wierzchołku A wynosi 38°. Do czego możemy wykorzystać tę informację?

Kąt o wierzchołku B jest trzy razy większy od kąta A, możemy więc dzięki tej informacji obliczyć rozwartość kąta B:
3 × 38° = 114°

Rozwartość jakiego kąta można obliczyć, znając rozwartość kąta B? Kąt C jest o 45° mniejszy od kąta B:
114° - 45° = 69°

Znamy już wielkości trzech kątów czworokąta. Możemy obliczyć rozwartość kąta D:
38° + 114° + 69° = 221°
360° - 221° = 139°.




4. Spośród narysowanych czworokątów wybierz:
 a. trapezy,
 b. równoległoboki,
 c. prostokąty.



ROZWIĄZANIE:
Aby rozwiązać zadanie wystarczy znać podstawowe własności czworokątów. Dobrze jest także pamiętać, że linie tworzące kratki w zeszycie przecinają się pod kątem prostym. Tę samą własność mają także linie poprowadzone po przekątnych kratek.

a. Trapez ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Własność tę mają figury: A, B, C, E, F, G, H, J.

b. Równoległobok ma dwie pary boków równoległych. Równoległobokami są zatem czworokąty: B, C, F, G, H, J.

c. Prostokąt ma wszystkie kąty proste. Prostokątami są figury C, G, H.




5. Odczytaj współrzędne punktu A zaznaczonego w układzie współrzędnych.



ROZWIĄZANIE:

I Prowadzimy przerywaną linię do osi x i odczytujemy współrzędną: -2.

II Prowadzimy przerywaną linię do osi y i odczytujemy współrzędną: -4.

Pamiętaj, że zawsze jako pierwszą współrzędną punktu podajemy jego współrzędną na osi x, a jako drugą -- współrzędną na osi y.





 



Trening

  • Przeczytaj uważnie każde zadanie, zaplanuj jego rozwiązanie.
  • Zapisuj wszystkie obliczenia w zeszycie.
  • Sprawdzaj otrzymywane wyniki.
  • Nie spiesz się, pracuj powoli i dokładnie.

NR 4


1. Opisz jak najdokładniej każdy z narysowanych trójkątów.




2. Nazwij te figury. Jeśli to możliwe, podaj więcej niż jedną nazwę.




3. Na papierze w kratkę narysuj trójkąt, który jest jednocześnie:
 a. równoramienny i rozwartokątny,
 b. ostrokątny i różnoboczny.
4. Rozstrzygnij, czy można narysować trójkąt o bokach:
 a. 5 cm, 7 cm, 6 cm;
 b. 12 cm, 5 cm, 7 cm;
 c. 8 cm, 8 cm, 15 cm.
5. Przerysuj tabelkę do zeszytu i wpisz TAK, jeśli trójkąt istnieje albo NIE, jeśli nie istnieje.

  Ostrokątny Prostokątny Rozwartokątny
Różnoboczny      
Równoramienny      
Równoboczny      

6. Oblicz rozwartości kątów każdego trójkąta. Linią przerywaną zaznaczono osie symetrii trójkątów.




7. Odczytaj współrzędne zaznaczonych punktów.





8. Narysuj układ współrzędnych i zaznacz w nim punkty:
A = (3, 2);
B = (-3, 4);
C = (-1, -5);
D = (6, -2);
E = (0, 3);
F = (-2, 0).
9. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest najmniejszy. Kąt przy wierzchołku B jest wiekszy od niego o 50° i o tyle samo mniejszy od kąta przy wierzchołku C. Jaką rozwartość ma każdy kąt trójkąta ABC?
10. Odcinki AD, AC, BC i BE są tej samej długości. Oblicz rozwartość kątów trójkątów ABC, ACD i BCE.




11. Narysuj czworokąt, który:
 a. ma dokładnie dwa kąty proste,
 b. ma jedną parę boków równych i jedną parę boków równoległych,
 c. ma prostopadłe przekątne, które są równe i dzielą się na połowy,
 d. ma jedną parę boków równoległych, ale nie ma osi symetrii,
 e. ma dwie osie symetrii, ale nie jest prostokątem.
12. Oblicz rozwartości kątów narysowanych czworokątów. Przy niektórych czworokątach podana jest dodatkowa informacja potrzebna do rozwiązania zadania.




13. W równoległoboku kąt ostry jest dwa razy mniejszy niż kąt rozwarty. Jakie są kąty tego równoległoboku?
14. W trapezie równoramiennym kąt przy krótszej podstawie jest równy 142°. Jaką rozwartość mają kąty przy jego dłuższej podstawie?
15 a. Oblicz rozwartości kątów w równoległoboku ABDE.
 b. Oblicz rozwartości kątów trójkąta BCD i trapezu ACDE. Jakie własności mają te dwie figury?




16. Obwód trapezu równoramiennego wynosi 25 cm. Jego ramię ma długość 3,5 cm, a jedna podstawa jest krótsza od drugiej o 2 cm. Oblicz długości podstaw tego trapezu.

Odpowiedzi:
  1. a. ostrokątny i różnoboczny
    b. prostokątny i równoramienny
    c. rozwartokątny i różnoboczny
    d. ostrokątny i równoramienny
    e. prostokątny i równoramienny
    f. prostokątny i różnoboczny
  2. a. trapez równoramienny
    b. trapez prostokątny
    c. romb, rownoległobok, ...
    d. równoległobok, trapez, ...
    e. kwadrat, prostokąt, ...
    f. latawiec
    g. prostokąt, równoległobok, ...
    h. deltoid, latawiec
    i. trapez
  3. a. tak
    b. nie, bo 5 + 7 = 12
    c. tak
  4. Nie istnieje trójkąt równoboczny i prostokątny oraz równoboczny i rozwartokątny.
  5. a. 70° b. 65°; 50° c. 45°; 45° d. 85° e. 40° f. 30°; 30°
  6. a. A = (3, 2), B = (0, - 3), C = (- 2, 2), D = (- 2, - 3)
    b. A = (4, 1), B = (0, 3), C = (- 3, 4), D = (- 1, - 3), E = (2, 0)
  7. por. rysunek



  8. 10°, 60°, 110°
  9. trójkąt ABC: 70°, 70°, 40°, trójkąt BEC: 110°, 35°, 35°, trójkąt DAC: 35°, 110°, 35°
  10. a. 100°
    b. 70°, 110°, 110°
    c. 50°, 130°, 50°
    d. 112°, 68°, 112°
    e. 90°, 62°, 118°, 90°
    f. 80°, 100°, 80°, 100°
  11. 60° i 120°
  12. po 38°
  13. a. 108°, 72°, 108°
    b. trójkąt BCD: 72°, 72°, 36°; trapez ACDE:72°, 108°, 108°, oba równoramienne
  14. 8 cm i 10 cm