21. czworokąty i ich własności


tytuł







Przekątna łączy dwa wierzchołki wielokąta, ale nie jest jego bokiem!
 
! Czworokąt o czterech kątach prostych nazywamy prostokątem.
Przeciwległe boki prostokąta są parami równe i równoległe. Jego przekątne są równej długości i dzielą się na połowy.

Prostokąt o wszystkich bokach równych to kwadrat.




1. Zbadaj, jakie inne wielokąty możesz ułożyć z dwóch przystających trójkątów prostokątnych. Czy są wśród nich takie, które mają:
 a. dwie pary równych boków;
 b. dwie pary równych kątów;
 c. dwa równe kąty;
 d. jedną oś symetrii?

Figury przystające, czyli takie same!

2. Jakie dwa trójkąty należy wyciąć z papieru, aby można było złożyć z nich kwadrat?
grupa 3. Marta układała czworokąty z dwóch przystających trójkątów ostrokątnych. Przyjrzyjcie się narysowanym czworokątom.



 a. Marta jest zdania, że boki EH i GF są nie tylko równe, ale także i równoległe. Uzasadnijcie, że ma rację.
 b. Odszukajcie w tych czworokątach inne pary równoległych boków.

 
! Taki czworokąt, który ma dwie pary przeciwległych boków równych i równoległych nazywamy równoległobokiem.






4. Oblicz obwód równoległoboku wiedząc, że jego boki mają długość:
 a. 7 cm i 13 cm;
 b. 4,3 cm i 6,7 cm;
 c. 4,25 dm i 4,25 dm;
 d. 2,1 dm i 34 cm;
 e. 41/2 m i 61/4 m;
 f. 4,3 dm i 34,5 cm.
5. Monika z Ewą próbowały uzasadnić, że w równoległoboku kąty leżące naprzeciwko siebie mają jednakową rozwartość.

Monika uważa, że wystarczy popatrzeć na rysunek.



Ewa też tak uważa, ale jej rysunek jest inny.



 a. Na czym polega rozumowanie każdej z dziewcząt?
 b. Wybierzcie jeden z rysunków. Korzystając z niego pokażcie, że suma rozwartości dwóch sąsiednich kątów równoległoboku jest równa 180°.
6. Jaka jest rozwartość kątów równoległoboku, jeśli jeden kąt ma:
 a. 40°;
 b. 70°;
 c. 90°;
 d. 115°?
grupa 7. Punkty E, F, G i H to środki boków równoległoboku ABCD.





 a. Na jakie figury odcinki EF i GH podzieliły ten równoległobok?
 b. W jaki sposób punkt O dzieli przekątne równoległoboku ABCD?
 c. Narysujcie na papierze w kratkę kilka innych równoległoboków. Zbadajcie, jakie własności mają ich przekątne. Jak sądzicie, czy będzie tak samo dla każdego równoległoboku?
ćw. 1,2


 
! W równoległoboku przeciwległe kąty są parami równe, a suma rozwartości dwóch sąsiednich kątów wynosi 180°.



Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy.



grupa 8. Weźcie prostokątną kartkę papieru oraz nożyczki i wykonajcie kolejno czynności przedstawione na tych rysunkach. Zwróćcie uwagę, w jaki sposób i w jakim miejscu jest robione cięcie.



Rozłóżcie wyciętą figurę i przyjrzyjcie się jej uważnie.



Taki równoległobok nazywamy rombem!
 a. Pod jakim kątem przecinają się zgięcia?
 b. Ile osi symetrii ma utworzony czworokąt?
 c. Jakie własności mają cztery tworzące go trójkąty?
 d. Co możecie powiedzieć o bokach i kątach tego czworokąta?
 e. Jakie własności mają jego przekątne?
 f. Zróbcie listę wszystkich znalezionych własności tej figury.
9. Narysuj na papierze w kratkę romb o przekątnych AC i BD takich, że |AC| = 6 cm i |BD| = 4 cm. Jak można najprościej to zrobić?
10 a. Narysuj na papierze w kratkę romb o przekątnych KM i LN takich, że |KM| = 5 cm oraz |LN| = 5 cm. Co możesz powiedzieć o własnościach tego rombu?
 b. Narysuj inny romb o przekątnych równej długości i sprawdź, czy otrzymałeś figurę o tych samych własnościach co poprzednio. Spróbuj wyjaśnić, dlaczego tak się dzieje.
11. Jaki jest obwód rombu, jeśli jego bok ma długość:
 a. 7 cm;
 b. 11,5 cm;
 c. 7,3 cm?
12. Jaka jest długość boku rombu o obwodzie:
 a. 36 cm;
 b. 34 cm;
 c. 25 cm?
13 a. Na gładkim papierze narysuj kwadrat, którego przekątne mają długość 4 cm. Jakie czynności trzeba kolejno w tym celu wykonać?
 b. Narysuj dwie przecinające się proste. W jaki sposób można narysować prostokąt, którego przekątne leżą na tych prostych?

 
! Romb to taki czworokąt, którego wszystkie boki są równej długości. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy.



Szczególnym przypadkiem rombu jest kwadrat. Ma on wszystkie kąty proste i cztery osie symetrii. Romb, który nie jest kwadratem ma dwie osie symetrii.



grupa 14. Wytnijcie dwa przystające trójkąty rozwartokątne. Zaznaczcie w nich równe boki i równe kąty. Ułóżcie z nich jak najwięcej różnych czworokątów. Znajdźcie jak najwięcej własności każdego z nich.
15. Spójrz na narysowane czworokąty. Każdy z nich został złożony z dwóch identycznych trójkątów.



 a. Ile osi symetrii ma każda z tych figur?
 b. Każda z nich ma przynajmniej jedną parę równych kątów. Znajdź te kąty. Dlaczego są one równe?
 c. Które z tych figur nie są rombami? Dlaczego?
 d. Które z nich mają dwie pary sąsiednich boków równych?

Sąsiednie boki to takie, które mają wspólny wierzchołek!
 
! Taki czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równej długości, nosi nazwę latawca.



Latawiec ma jedną albo więcej osi symetrii oraz przynajmniej jedną parę równych przeciwległych kątów.

Takie latawce, których wszystkie kąty są wypukłe, nazywamy deltoidami.




16. O pewnym czworokącie wiemy, że dwa z jego kątów mają po 110°. Jaki to może być czworokąt?
17. O trzech czworokątach wiemy, że mają kąty o rozwartościach:
 a. 135° i 80°,
 b. 120° i 120°,
 c. 65° i 115°.
ćw. 3, 4, 5 Który z tych czworokątów może być rombem? A latawcem? Który z nich nie może być równoległobokiem?

 

Każdy czworokąt ma dwie przekątne. Zbadaj, jakie własności mają przekątne w latawcu.



 


Jakie czworokąty można ułożyć z czterech patyczków tej samej długości? A z pięciu? Z sześciu?
 

1. Nazwij narysowane czworokąty.



2. Jeden z kątów równoległoboku ma 45°. Ile stopni mają pozostałe jego kąty?

3. Jeden z kątów rombu jest dwa razy większy od drugiego. Jaka jest ich rozwartość?

4. Dwa kąty latawca mają 30° i 70°. Jakie kąty może mieć ten latawiec? Zbadaj, ile jest wszystkich możliwości.
Jeśli rozwiązałeś zadania:
1           - jesteś POCZĄTKUJĄCY
1 i 2       - jesteś OBIECUJĄCY
1, 2 i 3    - jesteś ZAAWANSOWANY
1, 2, 3 i 4 - jesteś MISTRZEM !
Odpowiedzi:
  1. a. romb
    b. latawiec (deltoid)
    c. kwadrat
    d. i f. równoległobok
    e. prostokąt
  2. 45°, 135°, 135°
  3. 60° i 120°
  4. 30°, 30°, 70°, 230°; 30°, 70°, 130°, 130°; 70°, 70°, 30°, 190°.