9. prosta i odcinek, równoległość i prostopadłość


tytuł


Basia narysowała na papierze w kratkę wzdłuż linii odcinek i zaczęła bawić się w "lustrzane odbicia": ustawiała lusterko tak, aby kawałek linii leżący przed lusterkiem i jego odbicie tworzyły razem różne figury.

 starter



1. Czy udało ci się tak ustawić lusterko aby powstały:
 a. odcinki prostopadłe,
 b. odcinki równoległe.
Czy można to zrobić tylko w jeden sposób?
2. Czy można otrzymać odcinki równoległe leżące w odległości 4 cm od siebie? A w odległości 5 cm? Jak trzeba ustawić lusterko?
3. Powiedz, w jaki sposób należy ustawić lusterko, aby otrzymać:
 a. jeden odcinek,
 b. odcinek tej samej długości, co odcinek narysowany,
 c. odcinek dwa razy dłuższy od odcinka narysowanego,
 d. odcinek dwa razy krótszy od odcinka narysowanego.
Jaki kąt w każdym wypadku tworzy lusterko z narysowanym odcinkiem?
grupa 4. Ustawcie dwa lusterka prostopadle do narysowanego odcinka, po jednym na każdym jego końcu, i spójrzcie w jedno z nich. Czy można tak ustawić lusterka, aby widoczna w nich linia nie miała żadnych "załamań"? Jak daleko ciągnie się ta linia?

 
! Jeżeli odcinek będziemy bez końca przedłużać w obie strony, to powstanie linia prosta (krócej: prosta). Linii prostej nie można narysować ani zaznaczyć w żaden inny sposób. Rysując czy zginając kartkę zawsze zaznaczamy tylko jej fragment, czyli pewien odcinek.

Linie proste będziemy zaznaczać małymi literami alfabetu. Do zaznaczenia końców odcinka będziemy używać dużych liter. Na rysunku prosta i odcinek różnią się tylko sposobem oznaczenia.




5 a. Jakie figury zaznaczone są na tym rysunku?

 proste


 b. Odcinek CD leży na prostej a, odcinek EF na prostej b. Czy odcinki CD i EF przecinają się? A proste, na których one leżą? Jak się można o tym przekonać?
 c. Odcinek AB wyznacza pewną prostą, która nie jest zaznaczona na rysunku. Poprowadź ją w wyobraźni. Z jakimi innymi prostymi przetnie się ta prosta?
 d. Odcinek GH jest równoległy do odcinka CD. Z jakimi prostymi przetnie się prosta wyznaczona przez ten odcinek? Czy jest taka prosta, z którą się ona nie przetnie? Dlaczego?
6. Narysuj trzy różne punkty i nazwij je A, B i C. Ile odcinków one wyznaczają? A ile prostych? Czy można tak narysować te punkty, aby prostych było mniej niż odcinków?
ćw. 1, 2


 
? Proste a i b są prostopadłe, jeśli przecinają się pod kątem prostym.
Zapisujemy to tak: aprostopadłośćb.

Dwa odcinki AB i KL są prostopadłe, jeśli odcinki te lub ich przedłużenia przecinają się pod kątem prostym.
Zapisujemy to tak: ABprostopadłośćKL.




7. Na ile różnych sposobów potrafisz na papierze w kratkę narysować dwa odcinki prostopadłe?
grupa 8. Ten film pokazuje jeden ze sposobów rysowania odcinków prostopadłych na papierze w kratkę.



 film


 a. Opowiedzcie jak najdokładniej, na czym polega ten sposób.
 b. Narysujcie, korzystając z tej metody, dwie pary odcinków prostopadłych.
grupa 9. Na gładkim papierze można rysować prostopadłe linie, używając tylko ekierki albo tylko linijki i ekierki, albo tylko półkwadratu.

 ekierki


 a. Opiszcie, na czym polega każda z tych metod. Użyjcie ich do narysowania trzech par odcinków prostopadłych.
 b. Która z tych metod wydaje wam się najwygodniejsza? ćw. 3, 4





10 a. W jaki sposób można zbudować odcinki prostopadłe, zginając kartkę papieru?
 b. A jak zbudować w ten sposób odcinki równoległe?

 
? Dwa odcinki są równoległe, gdy są prostopadłe do tego samego odcinka.

 ramka


Odcinki równoległe wyznaczają proste równoległe. Dwie równoległe proste nigdy się nie przecinają.

Zapisujemy to tak: CDrównoległośćEF, arównoległośćb.




11. Do narysowania odcinków równoległych lub prostych równoległych na gładkim papierze można używać linijki i ekierki.

 ekierki


 a. Opisz, na czym polega każdy z tych dwóch sposobów.
 b. Narysuj, używając ich, po trzy pary odcinków równoległych.
12. Wymyśl, w jaki sposób można narysować odcinki równoległe, używając tylko ekierki albo tylko półkwadratu.
13 a. Na papierze w kratkę można narysować odcinki równoległe bez przyrządów. Odgadnij, jak zrobiono to na każdym z tych rysunków.

 odcinki


 b. Narysuj w ten sposób trzy pary odcinków równoległych. ćw. 5





14. Proste a i b są równoległe. Ich odległość, czyli długość odcinka pokazanego na rysunku, wynosi 4 cm. Narysuj prostą c równoległą do prostej b odległą od niej o 2 cm. Jaka może być odległość prostych a i c?

 proste



15. Odcinek AB ma 5 cm, a odcinek BC ma 2 cm.

 odcinki


Jaka jest długość odcinka AC na każdym z tych rysunków? Na którym odcinek AC jest sumą odcinków AB i BC, a na którym jest ich różnicą?
16. Punkty: A, B, C leżą na jednej prostej. Narysuj je, wiedząc, że:
 a. AB ma długość 5 cm, BC ma długość 3 cm, AC jest sumą AB i BC,
 b. AB ma długość 5 cm, BC ma długość 3 cm, AC jest różnicą AB i BC,
ćw. 6, 7, 8  c. AB ma 7 cm, BC ma 5 cm,
 d. AB ma 4 cm, AC ma 7 cm.

Czy w każdym wypadku jest tylko jedno rozwiązanie?

 

Dwa różne punkty zaznaczone na prostej wyznaczają jeden odcinek. Trzy różne punkty zaznaczone na prostej wyznaczają trzy odcinki. Ile odcinków wyznaczają cztery punkty? A dziesięć punktów?
 


Jak narysować cztery proste, aby przecięły się w sześciu punktach?
 

1. Na papierze gładkim i w kratkę narysuj po parze odcinków prostopadłych i równoległych.

2. Przedłużenia których odcinków przetną się?



3. Posługując się cyrklem, narysuj w zeszycie odcinek trzy razy dłuższy od odcinka EF.

4. Odcinek AB ma długość 3 cm, BC ma 4 cm, a AC ma 5 cm. Czy punkty A, B i C mogą leżeć na jednej prostej?
Jeśli rozwiązałeś zadania:
1           - jesteś POCZĄTKUJĄCY
1 i 2       - jesteś OBIECUJĄCY
1, 2 i 3    - jesteś ZAAWANSOWANY
1, 2, 3 i 4 - jesteś MISTRZEM !
Odpowiedzi:
  1. Tylko CD i EF są równoległe, zatem przetną się przedłużenia wszystkich innych par odcinków.
  2. Nie. Byłoby to możliwe, gdyby suma długości dwóch odcinków była równa długości trzeciego.