logo WSiP
logo archiwum m_2001 Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
Matematyka 2001 -- Archiwum



szukaj w archiwum
powrót do serwisu m_2001
powrót do strony głównej WSiP

GEOMETRIA

Obrazek klasy 1-2 G

Obrazek o wymiarach a × b, ma powierzchnię dwa razy mniejszą od całego prostokąta z ramką. Co możesz powiedzieć o przekątnej dużego prostokąta?

obrazek

Podaj przykłady takich obrazków, o wymiarach wyrażonych liczbami naturalnymi.
Czy znajdziesz więcej niż jeden przykład?
Czy może być taki obrazek, którego jeden z boków wynosi 2?

Zadanie na dowodzenie, z zastosowaniem przekształceń algebraicznych. Ładne, proste rozwiązanie (przekątna = a + b), zachęca do wyprowadzenia wniosku..

Dowód można znaleźć stosując dość automatycznie narzucające się związki (twierdzenie Pitagorasa i porównanie pól prostokątów). Jednak dopiero przy poleceniu o podanie przykładów zobaczymy jak naprawdę rozumieją to zadanie uczniowie -- co jest dla nich założeniem, a co udowodnioną tezą i jak przekładają zapis algebraiczny na rzeczywistą sytuację.


Węgierski tangram klasy 4-6,
klasy 1-2 G
Wielu z nas znany jest tangram -- stara chińska układanka. W Podręczniku dla klasy 4 został mu poświęcony osobny moduł. Uczniowie chętnie bawią się tangramem, poznając różne kształty, zapoznając się z różnymi metodami obliczania pól. Zabawy z tangramem uważane są za bardzo istotny element w nauce geometrii oraz przygotowujący do twierdzenia Pitagorasa.

Przedstawiamy dzisiaj inny tangram. Jest to tangram węgierski, zaprezentowany przez grupę Węgrów w 1988 roku na Kongresie Nauczania Matematyki (ICMI 6) w Budapeszcie.

Węgierski tangram ma kształt prostokąta o wymiarach . Podobnie jak klasyczny, chiński, podzielony jest na 7 części.



  • Co można ułożyć z jego 7 części?
  • Jakie inne prostokąty można ułożyć? Czy potrafisz udowodnić, że ze wszystkich części można ułożyć tylko... różne prostokąty?
  • Czy można ułożyć (ze wszystkich części) kwadrat? Jeśli nie, czy potrafisz to udowodnić?

Zabawy z tangramem to nie tylko układanki i liczenie pól. To także dowodzenie (wcale nie łatwe), sporo algebry na wyrażeniach algebraicznych, stosowania twierdzenia Pitagorasa, twierdzenia Talesa (np. spróbujcie ułożyć deltoid podobny do tego, który jest częścią tangramu -- w jakiej skali muszą się zmienić boki deltoidu, jeśli do ułożenia nowego użyjemy wszystkich części) i wiele innych ciekawych problemów, łączących spojrzenie geometryczne z algebrą. Z uwagi na złożoność problemów, zabawa ta wciągnie zapewne uczniów starszych.

Zapraszamy do układania różnych zadań i problemów dla tego tangramu.


Zadania o środkach boków klasy 4-6 SP,
klasy 1-2 G
Zadanka o środkach boków w figurach płaskich

Mnóstwo ciekawych pomysłów na lekcje od klasy 4. można znaleźć w zadaniach dotyczących środków boków różnych figur. Podajemy parę przykładów.

1. Narysuj trójkąt równoboczny np. o boku długości 12 cm. Zaznacz środki jego boków i połącz je. Jaką figurę otrzymałeś? Jakie jest jej pole? Jaki jest jej obwód?
W nowej figurze znowu zaznacz środki boków i połącz je. O ile zmienił się jej obwód? A pole?

?Jak sądzisz, ile razy możesz powtórzyć rysowanie, tak aby kolejna figura była jeszcze widoczna? Pomaluj otrzymany wzór.

2.Narysuj kwadrat np. o boku długości 16 cm. Zaznacz środki jego boków i kolejno połącz je. Jaką figurę otrzymałeś? Jakie jest jej pole? A jaki jest jej obwód? Powtórz to samo dla mniejszego kwadratu. Jak zmieniło się jego pole? A obwód?

Ile razy możesz powtarzać to wpisywanie, aby figury były widoczne "gołym okiem"? Jak długo możesz powtarzać t e o r e t y c z n i e to postępowanie? Pomaluj swój rysunek, tak aby uzyskać ciekawy wzór.

35. Narysuj kwadrat i połącz ze sobą punkty znajdujące się w jednej trzeciej długości każdego boku. Powtarzaj kilkakrotnie to postępowanie. Jaki rysunek otrzymujesz? Pomaluj go.

Czy w każdym przypadku pola i obwody sąsiednich kwadratów zmieniają się tak samo?
Podane propozycje mogą stać się podstawą wielu lekcji. Polecenia trzeba dopasować do wieku dzieci. Najłatwiejsze są lekcje na bazie kwadratu. Pole możemy obliczać nawet z klasą czwartą, obwód można zmierzyć lub zrezygnować z tej części.

W starszych klasach można obliczać długości boków i pola w oparciu o twierdzenie Pitagorasa. Dobrze jest zwrócić uwagę na to, jak zmienia się pole przy zmianie jakiejś wielkości liniowej.

Dobrze jest, jeśli kolejne wyniki są umieszczane w tabelkach, np.

Numer figuryDługość bokuObwódPole
    

Widać wtedy wyraźnie tworzące się ciągi według pewnej reguły. Od niektórych uczniów można wymagać określenia kolejnych wyrazów ciągu (są to wyrazy ciągu geometrycznego) z użyciem pierwiastków. Szczególnie ładne zadanie otrzymuje się na bazie sześciokąta foremnego. Jest w nim wiele interesujących własności do zaobserwowania przez uczniów. Można pozostać przy ładnym rysunku, można też wiele obliczać.

Wszystkie te zadania, poza swoją wartością estetyczną i obliczeniową, stykają uczniów z pojęciem nieskończoności. Oprócz patrzenia na pracę uczniów, warto też posłuchać, jak uczniowie rozmawiają o tych zadaniach, jakiego używają języka, jak komentują swoje odkrycia.

Z płaszczyzny można się przenieść do przestrzeni. Czy to już będą trudne zadania?

  • Jaką bryłę otrzymamy, łącząc środki ścian sześcianu? Czy potrafisz powiedzieć jaka jest objętość nowej bryły? Co otrzymamy, jeśli powtórzymy tę czynność?
  • Jaką bryłę otrzymamy, łącząc środki krawędzi czworościanu? Co otrzymamy, jeśli powtórzymy tę czynność?

Mikołajkowe gwiazdki klasy 4-6 SP
W jednej warszawskiej szkole uczniowie zdecydowali, że wszystkie paczuszki szykowane na mikołajki przez klasę 6A będą ozdobione gwiazdkami sześcioramienymi, a szykowane przez klasę 6B - gwiazdkami ośmioramiennymi. Gwiazdki sześcioramienne mają być wykonane na bazie trójkąta równobocznego o boku 6 cm a gwiazdki ośmioramienne na bazie kwadratu o boku 6 cm. Rożki w gwiazdkach sześcioramiennych będą wyklejone srebrnym papierem a rożki w gwiazdkach ośmioramiennych -- złotym papierem. W klasie 6A jest 28 uczniów, w klasie 6B jest 18 uczniów.

Którego papieru -- złotego czy srebrnego trzeba więcej?
Łańcuchy na choinkę klasy 4-6 SP

Na zajęciach świetlicowych dzieci przygotowują kolorowe łańcuchy na szkolną choinkę. Mają dwa zeszyty kolorowych papierów formatu 24,5 cm × 34,5 cm. W każdym zeszycie jest 10 różnych kartek. Dzieci ustaliły, że potną papier na paski szerokości 1 cm, wzdłuż krótszego boku kartki, a następnie każdy pasek potną na 3 części.

Czy starczy im tych dwóch zeszytów na łańcuch 20 metrowy? A jak długi łańcuch można zrobić z pasków długości 10 cm?

Zawsze warto warto lekcję matematyki opracować w porozumieniu z nauczycielem plastyki. Tematy dotyczące symetrii, obliczania pól różnych figur, obroty, kąty -- można wtedy zrealizować przyjemnie, iszybko, w sposób zróżnicowany.
Przy okazji są to zajęcia pracy w grupie, ważny staje się wybór strategii postępowania, zaplanownie pracy, trzeba czasami zmienić parametry wyjściowe.


Prostowanie okręgu klasa 2 G

Wykreśl prostokąt ABCD, którego boki są w stosunku 2 : 3. Na krótszym boku narysuj półokrąg wewnątrz prostokąta tak, aby cały ten bok był średnicą. Ze środka O okręgu, poprowadź półprostą pod kątem 30° przecinającą dłuższy bok prostokąta w punkcie P. Połącz punkt P z przeciwległym wierzchołkiem B. Sprawdź, że długość odcinka BP jest prawie równa długości półokręgu.



Jaka będzie różnica długości odcinka PB i długości półokręgu, jeśli przyjmiesz, że boki prostokąta mają długość 2 i 3 metry?
Sześciokąt w trójkącie klasa 6 SP,
klasa 1 G
W trójkąt równoboczny o boku równym 30 cm wpisano nieregularny sześciokąt. W jaki inny trójkąt równoboczny można wpisć ten sześciokąt?


Trójkąt z trapezu klasa 6 SP,
klasa 1 G
Narysuj dowolny trapez. Znajdź trójkąt o tym samym polu co twój narysowany trapez.
Ruchome kwadraty klasy 5-6 SP

Do tej zabawy dzieci muszą mieć po osiem jednakowych kwadratów.
  • Jakie różne kształty można z nich ułożyć?
  • Ile jest różnych kształtów?
  • Jakie figury uznasz za różne?
  • Jakie jest pole i jaki jest obwód każdej figury?
  • Które figury mają najmniejszy obwód?
  • Czy znajdziesz figurę, która ma pole równe 4 jednostkom, a obwód 8 jednostkom?
  • A figurę, która ma pole 8 jednostek a obwód 16 jednostek?

Układanki klasy 4-6 SP
Przygotujcie cztery jednakowe figury, takie jak na rysunku:

  • Jakie kształty można z nich ułożyć?
  • Ile jest różnych figur powstałych ze wszystkich czterech?
  • Jakie są ich pola otrzymanych figur; a jakie ich obwody?
Zabawa staje się ciekawsza, jeżeli pomalujecie swoje kartoniki na różne kolory.


Zadania o kulach i kołach klasy 1-2 G
1. Masz wiele jednakowych płaskich krążków. Wybierz jeden. Inne umieszczaj naokoło wybranego krążka tak, aby każdy dotykał tego jednego w środku. Jaka jest największa liczba krążków, które użyjesz?

2. Zadanie poprzednie można przenieść do przestrzeni, tj. powiedzieć o piłeczkach pingpongowych. Jest to dużo trudniejszy problem.

3. Masz kwadrat o wymiarach 10 × 10. W ten kwadrat wpisujemy koło. Ile pozostanie materiału, gdy wytniemy to koło? Wpisz teraz w ten sam kwadrat cztery mniejsze koła i wytnij je. Ile materiału pozostanie? Wpisz w ten sam kwadrat 25 mniejszych kół i usuń je. Ile materiału zostanie? Co się zmieni, gdy wpiszesz 100 jednostkowych kół? Czy możesz rozwiązać to zadanie dla kwadratu n × n?

4. Jakie to będzie zadanie, gdy pomyślimy o kulkach?


Cztery okręgi klasy  1-2 G

Narysuj trzy okręgi o promieniach 1; 1,5 i 2, styczne kolejno jeden do drugiego, których środki leżą na jednej prostej. Czy można narysować czwarty okrąg, którego obwód byłby równy sumie obwodów tych trzech okręgów tak, aby trzy pierwsze okręgi leżały wewnątrz nowego okręgu? Spróbuj!

rys

W zasadzie jest to bardzo proste zadanie - do rozwiązania potrzebna jest znajomość wzoru na długość okręgu i umiejętność znalezienia środka odcinka. Ponieważ jednak zadanie wymaga pewnej wyobraźni i zrozumienia tekstu warto zwrócić uwagę na samodzielność pracy uczniów.


Okrąg i cięciwa klasy 1-2 G
rys
Okrąg o środku w punkcie C ma średnicę długości 20 cm. Cięciwa RS ma długość 16 cm. Znajdź długość odcinka BM.

Zadanie bardzo proste (trzeba jednak mieć za sobą tw. Pitagorasa), rozwiązuje się natychmiast, jeśli zauważymy, że także CS jest promieniem. Jest to wtedy "olśnienie", że zadanie jest tak proste.


Pole trójkąta klasa 1 G
Trójkąt POL ma boki długości 16, 25 i 41 cm. Trójkąt BEN ma boki długości 18, 23 i 41 cm. Który z nich ma większe pole, dlaczego?
Kwadrat w układzie współrzędnych klasa 6 SP

Współrzędne przeciwległych wierzchołków kwadratu wynoszą (3,9) i (6,2). Jakie są współrzędne pozostałych wierzchołków?


Romby w wielokątach  klasy 4-6 SP
Narysuj sześciokąt foremny -- łatwo jest go podzielić na romby. Narysuj teraz ośmiokąt foremny. Czy potrafisz podzielić go na romby (kwadrat też jest rombem)? A jak będzie z dziesięciokątem?
rys
Jak sądzisz, czy każdy wielokąt foremny, który ma parzystą liczbę boków da się rozciąć na pewną liczbę rombów?

Gwiazdki  klasy 4-6 SP

Przyjrzyj się jak narysowaliśmy te ładne gwiazdki. Wszystkie one są trochę inne. Spróbuj, w oparciu o te pomysły narysować inne, własne gwiazdki.

rys

Zadania te rozwijają wyobraźnię geometryczną, kształtują pojęcia związane z symetrią.


Puzzle z trójkątów  klasa 6 SP

Na papierze w trójkątne kropki narysuj trójkąt równoboczny. Będziemy odcinać wierzchołki trójkąta, na trzy możliwe sposoby, pokazane na rysunku: (zwróć uwagę, że dopuszczamy łuk okręgu).

rys
Utwórz w ten sposób kształt taki jak na rysunku obok. rys

Ile różnych kształtów możesz otrzymać, jeśli przyjmiemy, że:

  • w każdym kształcie musi się znaleźć pośrodku jedna kropka
  • papier kropkowany jest tylko z jednej strony?
Spróbuj z wyciętych różnych kształtów, ułożyć np. przedstawiony wzór.
rys
Dla lepszego efektu możesz użyć kolorów.

Zadanie to dostarcza wiele działań natury estetycznej i dobrze jest zainteresować nim kolegę/koleżankę od wychowania plastycznego. Kolory wprowadzają inne spojrzenie i inne problemy -- można starać się uzyskać dodatkowe efekty pochodzące z różnych symetrii. Bardzo polecamy ten rodzaj działań właśnie pod koniec roku szkolnego, gdy wszyscy są zmęczeni poważnymi i trudnymi zadaniami.


Kardioida klasy 1-3 G 
Narysuj dowolny okrąg i zaznacz na nim punkt. Przez ten punkt rysuj różne okręgi, których środki zawsze znajdują się na początkowym okręgu. Linia, która powstaje z zewnętrznego obrysu tych okręgów to kardioida.

Spróbuj ją narysować (luty to miesiąc Walentynek!). Będzie ci łatwiej, jeśli pierwszy okrąg zaznaczysz wyraźnie innym kolorem. Użyj kolorów do pomalowania kardioidy, tak, aby wydobyć różne tworzące się wzory i regularności.

rys

Jakie krzywe otrzymamy, jeśli wyjściowy okrąg zastąpimy trójkątem równobocznym lub kwadratem? A co się zmieni, jeśli weźmiemy dowolny trójkąt? Czy potrafisz przy pomocy kolorów uzyskać ładne, ciekawe wzory?
A może warto urządzić taki konkurs?


Okrąg ma dwa środki klasa 2 G

rys Rysuję dowolny kąt o wierzchołku S i zaznaczam na każdym ramieniu po jednym punkcie K i L. W punktach tych wystawiam prostopadłe do ramion kąta. Niech P będzie punktem przecięcia.
Rysuję okrąg opisany na trójkącie KPL Okręg ten przetnie ramiona kąta w punktach C i D. Wówczas odcinek CP jest średnicą (kąt CKP jest prosty). Ale kąt DLP też jest prosty -- zatem odcinek DP też jest średnicą.
Wniosek: okrąg ma dwa środki.


[ Dalej ]      [ Cofnij ]

© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna